Сегодня будем решать текстовые задачи из профильного ЕГЭ по математике. А именно — задачи на движение. Убиваем сразу двух зайцев: решаем текстовые задачи и вспоминаем кинематику, а именно относительную систему координат.
Задача 1:
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй – длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 1000 метров. Через 16 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 400 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Решение:
Итак, мы имеем два движущихся с разной скоростью теплохода, и нам эту разницу скоростей нужно определить. Она и будет нашей неизвестной
x = v1 — v2
На картинке оба теплохода движутся по неподвижной воде. Системой отсчета, она же — система координат, является море. Читать далее
Задача:
Найдите все значения а, при которых уравнение
![\[\boldsymbol{\left|{x^2 - 4x + 3}\right| = a(x - 1)}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7c52fbaefe3f0357e702ce29b979148_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
имеет два различных корня. укажите эти корни.
Для начала мы должны посмотреть на это уравнение. Для этого чертим графики левой части уравнения у = 
и правой части уравнения у = а(х — 1). Именно точки пересечения этих графиков и определят корни уравнения.
График правой части — линейная функция, проходящая через точку 1 на оси 0х, угловой коэффициент которой k = a, которую мы и ищем. Получается, что эта прямая как бы вращается вокруг точки А(1: 0), меняя угол наклона к оси 0х при изменении а.
На графике представлены четыре из всего множества прямых: фиолетовая, красная, синяя и бирюзовая, а также пунктирная..
Второй график, график с модулем, преобразуем, сначала без модуля.
у = х2 — 4х + 3 = ( х2 — 2·2·х + 22) — 22 +3 = (х — 2)2 — 1.
Отсюда получается, что это — парабола у = х2, вершина которой смещена в точку (2: -1). Модуль «переворачивает» отрицательную часть графика в положительную половину. График, который получился, начерчен зеленым цветом. Читать далее
Классическое определение
![\[\mathbf{y ^\prime (x) = \lim_{\Delta x \to \ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0def88965fc9305da5fcd3f940eb369_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Производная есть предел отношения приращения функции при бесконечно малом приращении 
аргумента.
А теперь посмотрим на линейную функцию y = kx + b. Напоминаю, линейная функция на графике x0y — это прямая, а k — угловой коэффициент, определяемый тангенсом угла наклона графика к оси 0х. В нашем случае прямые — это три секущие и касательная. А для них отношение 
= k.
Получается, что при уменьшении Δх→0 секущая становится касательной. Следовательно
- Производная функции в точке — это угловой коэффициент касательной к данной точке функции.
Задача из варианта №304 Ларина:
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины
ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°
Решать будем при помощи координат. Для этого присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.
Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.
Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М
. Углы треугольника по 60º.
![\[CM = AC\cdot \sin{60^0}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2816b4c554407ed84b869db622501182_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[CM = 6\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-672272ec8f174ef87259903ef2cf24a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[MH = \sqrt3.\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2eacc017377cd04d24d682632ba5a73e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решим задачу:
Основанием призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник АВС со стороной 6. Боковое ребро АА1 призмы равно 6 и образует со сторонами АВ и АС углы по 600.
Определите расстояние от точки B1 до плоскости А1СВ;
Будем решать, применяя координатный метод. Присоединим к нашей призме систему координат, определим координаты узловых точек и найдем, все что нужно по координатам прямых и плоскостей.
Чтобы сделать рисунок более понятным, я закрасила грани и основания разным цветом. Предлагаю посмотреть на призму в проекциях на координатные плоскости, как бы со всех сторон. Соответственно на рисунке 1 смотрим на плоскость х0у, на рисунке 2 — z0y, а на рисунках 3 и 4 — плоскость z0x слева и справа от призмы.
Переходим к расчету координат узловых точек. Вспомним, что наша призма состоит их двух треугольников (основания призмы), двух ромбов (боковые грани) и квадрата (третья боковая грань). Чтобы определиться, насколько отстоит верхнее основание от нижнего, нам необходимо выяснить положение точки А1. Читать далее
Решим уравнение:
![\[\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8554e1c0482fe7e139a5e0c63f055b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:
⇒ 
![\[\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e6d3b39f465b78da8c93029aae4521d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
А теперь заменяем 
φ, a 
φ. Или 
φ, a 
φ. Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.
![\[\sin\phi \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bd14035f58878587d923cfcfe4a4127_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Какое-то наваждение! Оказалось, проблемы у будущих выпускников школы появляются там, где не ждали! В решении неравенств! А ведь это одно из самых предсказуемых заданий сложной части профильного ЕГЭ. Что ж, разберемся.
С простыми неравенствами проблем, как правило, не бывает: решаем уравнение относительно нуля, расставляем точки, соответствующие корням, рисуем интервалы, определяем знаки… Все правильно, вопросов вроде, как нет.
Но вот, например, такое неравенство
Почему-то здесь вдруг эти вопросы появляются. Читать далее