Сегодня будем решать текстовые задачи из профильного ЕГЭ по математике. А именно — задачи на движение. Убиваем сразу двух зайцев: решаем текстовые задачи и вспоминаем кинематику, а именно относительную систему координат.
Задача 1:
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй – длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 1000 метров. Через 16 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 400 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Решение:
Итак, мы имеем два движущихся с разной скоростью теплохода, и нам эту разницу скоростей нужно определить. Она и будет нашей неизвестной
x = v1 — v2
На картинке оба теплохода движутся по неподвижной воде. Системой отсчета, она же — система координат, является море. Читать далее
Задача:
Найдите все значения а, при которых уравнение
![\[\boldsymbol{\left|{x^2 - 4x + 3}\right| = a(x - 1)}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7c52fbaefe3f0357e702ce29b979148_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
имеет два различных корня. укажите эти корни.
Для начала мы должны посмотреть на это уравнение. Для этого чертим графики левой части уравнения у = 
и правой части уравнения у = а(х — 1). Именно точки пересечения этих графиков и определят корни уравнения.
График правой части — линейная функция, проходящая через точку 1 на оси 0х, угловой коэффициент которой k = a, которую мы и ищем. Получается, что эта прямая как бы вращается вокруг точки А(1: 0), меняя угол наклона к оси 0х при изменении а.
На графике представлены четыре из всего множества прямых: фиолетовая, красная, синяя и бирюзовая, а также пунктирная..
Второй график, график с модулем, преобразуем, сначала без модуля.
у = х2 — 4х + 3 = ( х2 — 2·2·х + 22) — 22 +3 = (х — 2)2 — 1.
Отсюда получается, что это — парабола у = х2, вершина которой смещена в точку (2: -1). Модуль «переворачивает» отрицательную часть графика в положительную половину. График, который получился, начерчен зеленым цветом. Читать далее
Классическое определение
![\[\mathbf{y ^\prime (x) = \lim_{\Delta x \to \ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0def88965fc9305da5fcd3f940eb369_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Производная есть предел отношения приращения функции при бесконечно малом приращении 
аргумента.
А теперь посмотрим на линейную функцию y = kx + b. Напоминаю, линейная функция на графике x0y — это прямая, а k — угловой коэффициент, определяемый тангенсом угла наклона графика к оси 0х. В нашем случае прямые — это три секущие и касательная. А для них отношение 
= k.
Получается, что при уменьшении Δх→0 секущая становится касательной. Следовательно
- Производная функции в точке — это угловой коэффициент касательной к данной точке функции.
Задача 1:
На высоте 200км давление воздуха составляет примерно 10-9 от нормального давления, а температура воздуха примерно 1200К. Оцените плотность воздуха на этой высоте. Ответ дайте 10-10 , округлите до десятых
Начнем! Сначала преобразуем уравнение Менделеева-Клайперона для данного конкретного случая:
PV = νRT
![\[\boldsymbol{PV= \frac{m}{M}R T}}}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c023148cb12cad5295b81757b7d5fb5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Заменим m = ρV, получим
![\[\boldsymbol{PV= \frac{\rho V}{M}R T}}}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac9fa3b31e5ce10fb69c492d58c934be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Очевидно, что можно разделить все уравнение на V, получим
![\[\boldsymbol{P= \frac{\rho}{M}R T}}}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d129983b7c5dda52c82731ead5c07e57_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Выделяем из этого уравнения плотность, получим
![\[\boldsymbol{\rho = \frac{P M}{R T}}}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a91a4af2c0a8f4f2d689074b26274976_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
= 291· 10-12≈ 2,9· 10-10
Ответ: 2,9
Задача 2:
Абсолютная температура воздуха в сосуде под поршнем повысилась в 2 раза, и воздух перешел из состояния 1 в состояние 2. Сквозь зазор между поршнем и сосудом мог просачиваться воздух. Рассчитайте отношение N2 / N1 числа молекул газа в конце и в начале опыта.
Посмотрим, что мы имеем в относительных величинах, используем приложенный график: Читать далее
Изопроцессы в МКТ — это процессы, протекающие в газах с каким-нибудь неизменным параметром. Рассмотрим, как решаются некоторые задачи, представленные в графиках, при наличии неизменных параметров.
Задача 1: Постоянная масса идеального газа участвует в процессе, указанном на рисунке. Где давление газа будет наибольшим?
Приступаем. Фраза «постоянная масса газа» означает, что мы имеем задачу с изопроцессом. Смотрим.
1-2: Температура не меняется (изотерма), но при этом увеличивается объем. В изотермическом процессе увеличение объема ведет к уменьшению давления и наоборот. Давление обратно пропорционально объему. Следовательно, в точке 2 давление ниже, чем в точке.
2-3: Не меняется объем (изохора), но при этом температура уменьшается. А в изохорном процессе давление прямо пропорционально температуре. То есть, в нашем случае — уменьшается.Давление в точке 3 будет меньше, чем в точке 2.
Ответ: Наибольшее давление будет в точке 1.
Задача 2: Зависимость объема идеального газа от температуры показана на V-P диаграмме. Масса газа постоянна. Выберите два верных утверждения о процессе, происходящем с газом: Читать далее
Изопроцессы в МКТ — это процессы, протекающие в газах с каким-нибудь неизменным параметром. Для начала мы рассмотрим газ, у которого постоянная масса и химический состав. То есть в газе не меняется количество вещества ν . В этом случае мы можем упростить уравнение Менделеева-Клайперона.
![\[p V=\nu R T\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-521883e6477ea3cf2d891f540369db7f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{p V}{T} = \nu R\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-355bbc74ba16b128e6b689c8e9212c1b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\frac{p V}{T} = \operatorname{const}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3816b8b613fee7aad48856f46a0b120_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Я не буду углубляться в названия газовых законов, вы это прочтете в учебниках. Займемся чистой математикой
Итак, у нас есть некий газ постоянной массы. Основные характеристики его состояния определяются 
. То есть, если мы будем на этот газ как-то воздействовать, меняя его характеристики, то
![\[\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = \operatorname{const}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a766d60db7ff628a1ec4ceb6cf04da7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Получается, что все три его характеристики связаны. Но можно рассмотреть случаи, когда один из этих компонентов не меняется. это и будут изопроцессы. Посмотрим, как будут выглядеть графики изопроцессов в осях p(V), p(T), V(T).
- Изотермический процесс. Это процесс, протекающий без изменения температуры. И если T = const, то превращается в
![\[p V = \operatorname{const} .\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a5828946342818ec0a7d2f61d6525153_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
И мы можем записать
⇒ 
. А это — гипербола 
. Два других графика — просто прямые, перпендикулярные оси Т, так как температура не меняется. 
Задача из варианта №304 Ларина:
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины
ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°
Решать будем при помощи координат. Для этого присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.
Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.
Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М
. Углы треугольника по 60º.
![\[CM = AC\cdot \sin{60^0}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2816b4c554407ed84b869db622501182_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[CM = 6\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-672272ec8f174ef87259903ef2cf24a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[MH = \sqrt3.\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2eacc017377cd04d24d682632ba5a73e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решим задачу:
Основанием призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник АВС со стороной 6. Боковое ребро АА1 призмы равно 6 и образует со сторонами АВ и АС углы по 600.
Определите расстояние от точки B1 до плоскости А1СВ;
Будем решать, применяя координатный метод. Присоединим к нашей призме систему координат, определим координаты узловых точек и найдем, все что нужно по координатам прямых и плоскостей.
Чтобы сделать рисунок более понятным, я закрасила грани и основания разным цветом. Предлагаю посмотреть на призму в проекциях на координатные плоскости, как бы со всех сторон. Соответственно на рисунке 1 смотрим на плоскость х0у, на рисунке 2 — z0y, а на рисунках 3 и 4 — плоскость z0x слева и справа от призмы.
Переходим к расчету координат узловых точек. Вспомним, что наша призма состоит их двух треугольников (основания призмы), двух ромбов (боковые грани) и квадрата (третья боковая грань). Чтобы определиться, насколько отстоит верхнее основание от нижнего, нам необходимо выяснить положение точки А1. Читать далее
Решим уравнение:
![\[\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8554e1c0482fe7e139a5e0c63f055b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:
⇒ 
![\[\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e6d3b39f465b78da8c93029aae4521d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
А теперь заменяем 
φ, a 
φ. Или 
φ, a 
φ. Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.
![\[\sin\phi \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bd14035f58878587d923cfcfe4a4127_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следует напомнить, что тригонометрический круг позволяет определиться с любыми значениями синусов, косинусов, тангенсов (подробнее здесь). Котангенсы тоже можно определять, только зачем нам загружать еще одну ось на нашу шпаргалку, когда любое уравнение с котангенсом можно превратить в уравнение с тангенсом, поскольку
![\[ctgx = \frac{1}{ \operatorname {tgx}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62540df5e94186cd4f42322e2f7b4032_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
На приведенном справа рисунке тригонометрического круга прорисованы все углы, значения которых мы знаем еще из геометрии, а именно: π/6, π/4 и π/3, и те, которые можно определить через эти углы. Как определяются эти углы, можно увидеть ниже:
Читать далее
Среди задач ЕГЭ по физике некоторую трудность при всей своей простоте представляют задачи на влажность. По всей видимости существует некоторое недопонимание сути проблемы. Попробуем разобраться.
В воздухе всегда находится некоторое количество воды в газообразном виде, в виде пара. Это происходит потому, что над поверхностью любой жидкости происходит испарение и конденсация жидкости. В открытом сосуде процесс испарения может преобладать над процессом конденсации. Испаряться вода может до тех пор, пока не наступит динамическое равновесие между испарением и конденсацией молекул воды.
Относительная влажность — это отношение плотности пара в воздухе к плотности насыщенного пара.
Но если вспомнить, что плотность газа пропорциональна давлению газа, то получим формулу определения влажности:
![\[\boxed{\phi = \frac{p}{p_0}\cdot100\%}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5498e12300f645f9094c51fe4886b89a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где р — парциальное давление, р0 — давление насыщенного пара.
Давление насыщенного пара величина постоянная для заданной температуры. Она меняется только с изменением температуры: увеличивается с увеличением температуры и уменьшается с уменьшением температуры.
Задача 1: Относительная влажность воздуха в закрытом сосуде 30 %. Какой станет относительная влажность, если объём сосуда при неизменной температуре уменьшить в 2 раза? (Ответ дать в процентах.)
Решение: Относительная влажность определяется отношением парциального давления пара к давлению насыщенного пара
![\[\phi = \frac{p}{p_0}\cdot100\%\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-05de1dc20a3cfe81ed1d718b7fc9497f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Когда вы начинаете изучать газовые законы, тепло и т.д., первое , с чем вы сталкиваетесь, это понятие МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ. Так вот, ее название и есть отражение сути этого раздела физики. Нас интересуют молекулы газов и их движение в разных обстоятельствах. Появляется понятие идеального газа, газа, столкновения молекул у которого абсолютно упругие, и силой взаимодействия молекул в котором можно пренебречь.
Уравнение состояния идеального газа — уравнение Менделеева-Клайперона:
PV = νRT
где P — давление (Па); V — объем газа (м 3); ν — количество вещества (моли); R — газовая постоянная; T — температура (абсолютная).
Разберемся сначала с понятием количества вещества. Количество вещества измеряется молями. Что же такое моль? В общем-то 1 моль — это 6,1 • 1023 штук молекул какого-то вещества. Грубо говоря, если нам сказано, что добавили один моль газа к смеси, то это значит, что туда запустили 6,1 • 1023 штук молекул этого газа.Конечно же эти 6,1 • 1023 молекул у разных газов имеют разную массу, но в данном случае масса обезличена, интересуют только количество молекул.
Читать далее
Какое-то наваждение! Оказалось, проблемы у будущих выпускников школы появляются там, где не ждали! В решении неравенств! А ведь это одно из самых предсказуемых заданий сложной части профильного ЕГЭ. Что ж, разберемся.
С простыми неравенствами проблем, как правило, не бывает: решаем уравнение относительно нуля, расставляем точки, соответствующие корням, рисуем интервалы, определяем знаки… Все правильно, вопросов вроде, как нет.
Но вот, например, такое неравенство
Почему-то здесь вдруг эти вопросы появляются. Читать далее
Начну с известной всем формулировки:
Модуль числа a равен числу a, если a ≥ 0, и равен –a, если a < 0.
Про это помнят все, а вот что за минус, почему он появился, толком не понимают многие.
Сразу же главное: выражения с модулем не решаются как-нибудь отдельным способом, его раскрывают, но раскрывают в зависимости от того, какое выражение записано под модулем: положительное или отрицательное.
Модуль или абсолютная величина числа это его численное значение без учета каких-либо знаков. Просто число. У векторов, кстати, модуль вектора тоже просто число, которое определяет длину вектора независимо от его положения в пространстве. Отсюда модуль числа — это всегда неотрицательное число. То есть
ΙaΙ ≥ 0
Так откуда минус? Читать далее
Метод координат… Что же это такое и зачем он нужен? Можно ли без него обойтись при сдаче ЕГЭ? Можно, безусловно! Все стереометрические задачи второй части профильного ЕГЭ по математике решаются и без привязки фигур к системе координат. Но… координатный метод может значительно упростить решение самых сложных вопросов, таких, как определение расстояний и углов между прямыми и плоскостями в пространстве, так как там все эти расчеты сводятся, практически, к одной формуле.
Будем разбираться!
Вспомните, как вас знакомили с системой координат и объясняли, что положение каждой точки в системе координат можно определять координатами х и у. Это точки M(xm; ym) и N(xn; yn)
Как известно, прямую можно провести через две точки, и при том, только одну. Задача по определению уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки, координаты которых известны, решалась очень просто. В этом случае в уравнение прямой y=kx+b подставляли сначала координаты точки М, затем – точки N.
Получали систему двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов k и b, которые находили при решении этой системы.
Но уравнение прямой на плоскости можно задать и по-другому:
Ax + By + C = 0, (A² + B² ≠ 0)
И суть от этого не изменится, изменятся только коэффициенты. Условие в скобках означает, что А и В не могут быть равны нулю одновременно. Читать далее
При решении задач по геометрии и стереометрии очень важно сделать хороший. чертеж. Хороший чертеж — половина успеха! Часто получается, что с самой фигурой справились, а вот что делать с сечением? Проблема! Предлагаю вам подробный разбор построения сечения. В этом сечении как раз присутствуют наиболее сложные задачи для построения: нужно построить плоскость, проходящую через точку, и параллельную двум скрещивающимся прямым. Читать далее
Вопрос:»Что такое тригонометрия?»
Сразу представляю себе ответ: «Ну…., это когда синус или косинус…»
«А что такое синус и косинус?» — «Ну…, отношение катетов к гипотенузе…»
«То есть — геометрия?» — «???…»
Нет, конечно не геометрия! Представьте себе угол в 1000° . Представили? Нет!.. Нет таких углов!!! На 90° заканчивается прямоугольные треугольники, которые и дали определение для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. На 180° заканчивается треугольник, на 360° — планиметрия.
Что же тогда такое — тригонометрия? Разберемся… Читать далее
Много лет занимаюсь подготовкой школьников к ЕГЭ по математике и физике. И все время существования этой формы итоговой оценки знаний школьников его не ругал только ленивый! За это время у меня сложилось свое собственное мнение об этой системе. Не считаю себя истиной в последней инстанции, но мне есть, с чем сравнивать.
Я заканчивала школу в 1972 году. Сдавали мы за лето 8 экзаменов в школе и 4 экзамена непосредственно в институте, куда поступали. И это было одно единственное учебное заведение, куда можно было поступать за это лето. Я сдавала вступительные по льготе (золотая медаль), могла сдавать только профильный предмет при условии, что сдам на отлично. В технические ВУЗы сдавали тогда 4 экзамена: две математики, физику и сочинение. Математика считалась профильной, и мы сдавали два экзамена, которые должны были сдать только на «5», в противном случае пришлось бы сдавать все четыре экзамена и идти по конкурсу.
И вот наступила «эра ЕГЭ». Из моих пятерых детей это «счастье» досталось только младшей дочери. Ну…, и мне, как репетитору… И знаете, несмотря ни на что, я вижу в ЕГЭ очень много плюсов! Читать далее