Еще задача, решаемая методом координат

Задача14 из варианта №304 Ларина:

В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины
ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°

б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.

Решать будем при помощи координат. Для этого присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.

Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.

Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М. Углы треугольника по 60º.

$CM = AC\cdot \sin{60^0}$

$CM = 6\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$

Н — точка пересечения медиан, делит медиану на отрезки, которые относятся 2:1. Точка N делит сторону DC пополам, следовательно, проекция СН тоже делится пополам. Следовательно,

$MH = \sqrt3.$

Координаты точек основания будут:

$A (0; -3; 0)$

$M(0; 0; 0)$

$B(0; 3; 0)$

$H(\sqrt3; 0; 0)$

$L(2\sqrt3; 0; 0)$

$C(3\sqrt3; 0; 0)$

Определяемся с точками N и D. для этого рассмотрим сечение CDM пирамиды: ΔADC — равносторонний, следовательно медиана $DM = 3\sqrt3$ , также, как медиана $CM = 3\sqrt3$ . $DH = \sqrt{DM^2 - HM^2} = \sqrt{(3\sqrt3)^2 - (\sqrt3)^2} = 2\sqrt6$ , тогда $NL = \sqrt6$

Координаты точек $D(\sqrt3; 0; 2\sqrt6)$ , $N(2\sqrt3; 0; \sqrt6)$ .

Переходим к решению:

а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°

Для определения угла между скрещивающимися прямыми MN и BC воспользуемся формулой для расчета угла по координатам прямых. Сначала найдем координаты векторов этих прямых. Координаты векторов определяются разностью между соответствующих координат двух точек на прямой, например, концов отрезков у нас в задаче. То есть от координаты точки N вычитаем координату точки М, а от координат точки С отнимаем координаты точки В. Получаем:

$\overrightarrow{MN} =\left\{ {2\sqrt3; 0; \sqrt6} \right\}$

$\overrightarrow{BC} =\left\{ {3\sqrt3; -3; 0} \right\}$

Определяем косинус угла между прямыми, назовем его α:

$\cos \alpha = \frac{{2\sqrt3}\cdot{3\sqrt3} + 0\cdot (-3) + 0} {\sqrt{(2\sqrt3)^2 + 0^2 + (\sqrt6)^2}\cdot \sqrt{(3\sqrt3)^2 + (-3)^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt2}$

Получается, что $\cos \alpha = \frac{\sqrt2}{2}$ , то есть $\alpha = 45^0$ , что и требовалось доказать.

б) Найдите расстояние между прямыми MN и AD.

Найти расстояние между прямыми геометрически можно, если построить на одной из прямых плоскость, параллельную другой прямой. то тогда расстояние от прямой до плоскости и будет расстоянием между прямыми. Для построения этой плоскости проводим через точки M и N прямые, параллельные прямой AD:

$QN \parallel AD \parallel MN$

Точка Q находится на основании пирамиды и на середине отрезка АС, точка Р находится на середине BD, То есть МР, QM, QN и NP — средние линии треугольников, составляющих пирамиду.

Если провести сечение через $AD \perp ABC$ , то в нем как раз и сможем найти расстояние от прямой AD до плоскости MPN. Это сечение ADE. И интересующее нас расстояние — это FK. Почему? Треугольник ADE — равнобедренный, так как DE и АЕ — медианы двух одинаковых равносторонних треугольников. К тому же медианы в этих треугольниках являются также высотами. Отрезок SE — средняя линия, и $FK = \frac{1}{2} FE$ .