Пример решаения задач с помощью метода координат

Задача1:

Основанием призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник АВС со стороной 6. Боковое ребро АА₁ призмы равно 6 и образует со сторонами АВ и АС углы по 60⁰.
Определите:

а) угол между прямыми АА₁ и СВ₁;
б) расстояние от точки B₁ до плоскости А₁СВ;

Наша заданная призма не прямая, а наклонная, так как ребро АА₁ не перпендикулярно основанию. Это обстоятельство в значительной степени усложняет решение задачи Две боковые грани у нее не привычные прямоугольники, а ромбы со стороной, равной 6. Почему? Потому что боковые ребра у призмы параллельны, а в нашей задаче они еще и равны ребрам основания призмы. Третья боковая грань — прямоугольник, а в данной задаче — квадрат, так как все ребра призмы равны.

Конечно же ее, эту задачу, можно решить геометрически, что мы и сделаем, частично.

а) Угол между скрещивающимися прямыми АА₁и СВ₁определяется при помощи построения прямой, параллельной одной из скрещивающихся и пересекающих вторую из скрещивающихся прямых. В данной задаче это вообще несложно, так как прямая АА₁ параллельна плоскости СВ₁С₁ . Ну, и расстояние между прямыми находим построением дополнительной плоскости МАА₁.

Рассмотрим плоскость СВ₁С₁. Эта плоскость параллельна АА₁, так как прямые ${AA_1} \parallel {CC_1} \parallel {BB_1}$ . Это квадрат по условию, а следовательно, ${AA_1} \parallel {M M_1}$ . Тогда угол между прямыми будет $\widehat{( AA_1) (CB_1)}$ = ∠M₁OB₁ = 45°.

Кстати, представьте, что вам требуется найти угол между прямыми АС₁ и А₁В. В этом случае найти эти значения геометрически не так уж и просто. Как и определение расстояния от точки до плоскости.

Мы же пойдем другим путем, присоединим к нашей призме систему координат, определим координаты узловых точек и найдем, все что нужно по координатам прямых и плоскостей. (Кликните, чтобы увеличить чертеж).

Чтобы сделать рисунок более понятным, я закрасила грани и основания разным цветом. Предлагаю посмотреть на призму в проекциях на координатные плоскости, как бы со всех сторон. Соответственно на рисунке 1 смотрим на плоскость х0у, на рисунке 2 — z0y, а на рисунках 3 и 4 — плоскость z0x слева и справа от призмы.

Переходим к расчету координат узловых точек. Вспомним, что наша призма состоит их двух треугольников (основания призмы), двух ромбов (боковые грани) и квадрата (третья боковая грань). Чтобы определиться, насколько отстоит верхнее основание от нижнего, нам необходимо выяснить положение точки А₁.

Боковая грань АА₁С₁С — ромб углом 60⁰, а следовательно, его диагональ равна стороне. А это значит, что точка А₁ равноудалена от точек А и С. Точно также можно рассмотреть грань АА₁В₁В.

Получается, что точка А₁ равноудалена от точек А, В и С. А это значит, что координаты х и у можно определить по чертежу. Фактически, на чертеже представлена проекция нашей призмы на плоскость хОу. Учитывая, что треугольник ΔАВС правильный, и сторона его равна 6, можно сказать, что проекция точки А₁ — центр описанной окружности, а АА₁ — ее радиус. Найду его по теореме синусов, а вы можете и по-другому, вариантов много.

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

$AA_1 = \frac{6}{2sin 60^0} = \frac{3\cdot2}{\sqrt3} = 2\sqrt3$

Координата z для нижнего основания призмы равна 0, а для верхнего определяем его из рисунка2, где АА₁ — гипотенуза треугольника, а высота (она же координата z) — катет. Координата $z = \sqrt{6^2 - (2\sqrt3)^2} = 2\sqrt6$

Итак, точки и их координаты: Нижнее основание

$A( 0; 0; 0 ), B( -3; 3\sqrt3; 0), C( 3; 3\sqrt3; 0 )$

В верхнем основании каждая точка сдвигается на $2\sqrt3$ вдоль оси Ох, и координата $z = 2\sqrt6$

$A_1 ( 0; 2\sqrt3; 2\sqrt6 ), B_1( -3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 ), C_1 ( 3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 )$

Переходим к следующему вопросу

б) По координатам узловых точек будем искать расстояние от вершины призмы до плоскости. Расстояние от точки В₁ $( -3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 )$ до плоскости А₁СВ определим по формуле

$\rho = \frac{\left|{Ax_b + By_b + Cz_ba +D}\right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Осталась «самая ерунда» — найти эти самые A, B, C и D. Ну что ж, ищем.

Для этого составляем и решаем систему уравнений, основываясь на точках плоскости: $A_1 ( 0; 2\sqrt3; 2\sqrt6 ),$ $B( -3; 3\sqrt3; 0),$ $C( 3; 3\sqrt3; 0 )$ .

$\begin{Bmatrix}{A\cdot 0 +B\cdot(2\sqrt3) + C\cdot(2\sqrt6) + 1 = 0}\\{A\cdot (-3) +B\cdot(3\sqrt3) + C\cdot 0 + 1 = 0}\\{A\cdot 3 +B\cdot(3\sqrt3) + C\cdot(0) + 1 = 0}$

$\begin{Bmatrix}{0 +{2\sqrt3}B + {2\sqrt6}C + 1 = 0}\\{-3 A +{3\sqrt3}B + 0 + 1 = 0}\\{ 3A +{3\sqrt3}B + 0 + 1 = 0}$

Складываем второе и третье уравнение, получаем: ${6\sqrt3}B + 2 = 0$ $B = - \frac{2}{6\sqrt3} = - \frac{\sqrt3}{9}$

Из второго уравнения: $3A = 3\sqrt3 B + 1 = 3\sqrt3 \cdot(-\frac{\sqrt3}{9}) + 1 = 0$ , $A = 0$

Из первого уравнения: $2\sqrt6 C = -2\sqrt3 B -1$

Подставляем В и находим С : $2\sqrt6 C = -2\sqrt3 (- \frac{\sqrt3}{9}) -1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

$C = -\frac{1}{3\cdot2\sqrt6 } = - \frac{\sqrt6}{36}$

(Кстати, уравнение нашей плоскости будет $0\cdot x - \frac{\sqrt3}{9} y - \frac{\sqrt6}{36} z + 1 = 0$ . )

Теперь ищем расстояние от точки до плоскости:

$\rho = \frac{\left|{0\cdot(-3) + (- \frac{\sqrt3}{9})\cdot{5\sqrt3} + ( - \frac{\sqrt6}{36}){2\sqrt6} +1}\right|}{\sqrt{0^2 + (- \frac{\sqrt3}{9})^2 + ( - \frac{\sqrt6}{36})^2}}$

$\rho = 2\sqrt6$

Ответ: 45º, $2\sqrt6$

Задача2 (вариант Ларина №272):

Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ c ребром 2.

а) Докажите, что плоскости A₁BD и B₁D₁C параллельны
б) Найдите расстояние между плоскостями A₁BD и B₁D₁C.

С первым пунктом все просто: Плоскости параллельны, потому что пересекающиеся прямые их попарно параллельны.

Переходим к пункту б). Координаты точек будут $A(2; 0;0 ), B( 2; 2; 0 ), C( 0; 2; 0 ), D( 0; 0; 0 ), A_1( 2; 0; 2 ), B_1( 2; 2; 2 ), C_1(0; 2; 2 ), D_1( 0; 0; 2 )$

Составляем систему уравнения плоскости с координатами точек, через которые она проходит, чтобы определить коэффициенты А B, C и D:

$\begin{Bmatrix}{A\cdot 0 +B\cdot 0 + C\cdot2 + 1 = 0}\\{A\cdot 2 +B\cdot 2 + C\cdot2 + 1 = 0}\\{A\cdot 0 +B\cdot 2 + C\cdot0 + 1 = 0}$

$\begin{Bmatrix}{ 0 +0 + 2C + 1 = 0}\\{2A +2B + 2C+ 1 = 0}\\{ 0 +2B + 0 + 1 = 0}$

Получаем: $B = -\frac{1}{2}$ , $C = -\frac{1}{2}$ , $A = \frac{1}{2}$

Уравнение плоскости B₁D₁C будет $\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z+ 1 = 0$

Домножим на 2, чтобы избавиться от дробей $x -y - z+ 2 = 0$

Получается, что у первого уравнения $D_1 = 2$ . Но если плоскости параллельны, а они у нас параллельны, их уравнения имеют одинаковые коэффициенты А, В, и С, но разные D. Ищем $D_2$ Для этого подставляем в уравнение плоскости B₁D₁C вместо D=1 $D_2$ , будет