Тригонометрический круг

Арксинус,арккосинус и др.→

Приступим к определению решений уравнений вида

sin x = a, cos x = b, tg x = d

при помощи тригонометрического круга.

Для начала следует определиться с аргументами функций, то есть с углами. Отсчет углов всегда начинается от нулевой оси, причем, положительные — против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой.

Кроме того, величины неострых углов определяем, вычитая или прибавляя острые углы к узловым. Причем, если движемся от узловой точки против часовой стрелки, острый уго прибавляем, если — по часовой стрелке, угол отнимаем (см. схему справа). Например, на рисунке1 угол (голубой) определяем:

$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$

На рисунке2 угол равен: $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.$
На рисунке3 узловой будет точка 4π, до которой угол не дошел: $4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}.$
Или точка $\frac{7\pi}{2}$ , тогда угол считаем так:

$\frac{7\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{23\pi}{6}$

.

Вот она, наша прекрасная тригонометрическая шпаргалка — тригонометрический круг (кликните на картинку, чтобы увеличить).

На картинке сразу три оси, которые можно назвать оcями синусов, косинусов и тангенсов. Подробнее смотрите здесь

Получается, что достаточно взять на нужной оси нужную цифру, провести нужную прямую, и мы получим значения нужных углов! Значения синусов откладываем на оси Оy и проводим прямую, параллельную Ох, значения косинусов — на оси Оx и проводим прямую,параллельную Оy. Для определения угла по тангенсу нужно провести отрезок от точки на оси тангенсов до центра круга, и мы получим нужный угол. И будет он повторяться через полкруга.

К сожалению, из геометрии мы знаем значения функций только для углов π/6, π/4 и π/3. Определяются они, это значения, из прямоугольных треугольников. Но для всех других углов есть обозначение углов по их функции — арксинус, арккосинус, арктангенс .

Ну, и наконец, тригонометрический круг вполне способен заменить таблицу для наших геометрических углов! Все возможные значения тригонометрических функций, которые мы точно знаем, это:

для синусов-косинусов: $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt 2}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}, 1;$

для тангенсов-котангенсов: $0, \frac{\sqrt 3}{3}, 1, \sqrt 3.$

Как уже было отмечено , все абсолютные (по модулю) значения для тригонометрических функций вполне укладываются в первую четверть, она-то нам и заменит эту таблицу.

Рассмотрим эту первую четверть с геометрическими углами. Это — квадрат со стороной, равной 1. Диагональ квадрата делит угол на два угла $\frac{\pi}{4}$ . Углы сравниваем с углом $\frac{\pi}{4}$ .

$\frac{\pi}{6}$ < $\frac{\pi}{4}$ , значит его координаты ( $\frac{\sqrt 3}{2}; \frac{1}{2}$ ), то есть

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , а $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt 3}{2}$ .

$\frac{\pi}{3}$ > $\frac{\pi}{4}$ , значит его координаты ( $\frac{1}{2}; \frac{\sqrt 3}{2}$ ), то есть

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$ , а $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ .

Пример: Определим синус и косинус угла $\frac{115\pi}{6}$ . Для этого сначала выделим целое число π из 115π. Делим 115 на 6, получаем 19 и 1 в остатке. То есть имеем $19\pi +\frac{\pi}{6}$ . 19 = число нечетное. Рисуем круг. К точке 19π прибавляем угол $\frac{\pi}{6}$ и смотрим на координаты. Очевидно, что