Тригонометрические уравнения

←Арксинус, арккосинус…

Простые уравнения
Решение уравнения введением дополнительного угла

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых в том или ином виде содержатся тригонометрические функции.

Простые уравнения

К простым можно отнести уравнения, где присутствует только одна функция — тригонометрическая.

Пример 1:

Решением уравнения tg α = а будет α = arctg а + πn, где n ∈ Z.

В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{\pi (x-6)}{6}$ . Значит, мы и заменяем его на это выражение:

$\frac{\pi (x-6)}{6} = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt 3} + \pi n, \ n \in Z$

Значение $\frac{1}{\sqrt 3}$ — табличное, меньше единицы, значит,

$\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{\pi }{6} ,$

$\frac{\pi (x-6)}{6} = \frac{\pi }{6} + \pi n$

.

Умножаем все выражение на $\frac{6}{\pi }$ , получаем

x — 6 = 1 + 6n, n ∈ Z ,

х = 7 +6n, n ∈ Z .

То есть корней у уравнения бесконечное множество. Чаще в таких заданиях просят определить, например, наименьший положительный корень или наибольший отрицательный.

Будем искать наибольший отрицательный корень. Раз отрицательный, ищем все значения n при которых х будет меньше нуля:

х < 0

7 +6n< 0,

6n < — 7,

$n < -\frac{7}{6}$

А так как n ∈ Z , то есть n — число целое. Первое целое число, меньшее — $\frac{7}{6}$ , это n = — 2. Подставим его.

х = 7 +6n = 7 -12 = — 5.

Ответ: Наибольший отрицательный корень корень уравнения х = — 5.

Пример 2: $3 \cos( 1 - \frac{x}{2}) - 2 = 0$

$\cos( 1 - \frac{x}{2}) = \frac{2}{3}$

$1 - \frac{x}{2} =\pm \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 2\pi n, n\in Z$

$\frac{x}{2} =\mp \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 1 - 2\pi n, n\in Z$

Умножаем на 2 все выражение, и поскольку это не влияет на результат, возвращаем привычные знаки (n может быть и отрицательным и положительным)

$x = 2 \pm2 \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 4\pi n, n\in Z$

Ответ: $x = 2 \pm2 \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 4\pi n, n\in Z$

Решение уравнения введением вспомогательного угла

При помощи вспомогательного угла можно решать уравнения топа

a соs x ± b sin x = c

Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно.

Преобразуем его, разделив всё уравнение на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при синусе и косинусе: $\sqrt{ a^2 + b^2}$ . Получим

$\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}\cos x \pm \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}}\sin x = \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

А теперь сложим квадраты новых коэффициентов при синусе и косинусе

$(\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}})^2 = \frac{a^2}{ a^2 + b^2} + \frac{b^2}{ a^2 + b^2} = \frac{a^2 +b^2}{ a^2 + b^2} = 1$

Вспомним основное тригонометрическое тождество

sin²x + cos²x = 1

Но можно и наоборот: если a² + b² = 1, то можно их заменить на синусы и косинусы. То есть a = sin x, b = cos x, или наоборот a = cos x, b = sin x.

Получается, что мы можем заменить

$\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} = \cos \phi$

$\frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} = \sin \phi$

Получаем:

$\cos \phi\cos x \pm \sin \phi \sin x = \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$ , где

$\phi = \operatorname{arcsin} \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

или $\phi = \operatorname{arccos} \frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

В левой части уравнения у нас косинус разности или суммы двух углов, косинус — функция четная, пишем в любом порядке

$\cos (x \mp \phi) = \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}$

${x \mp \phi} = \pm \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} +2\pi n, n \in R$

$x = \pm \phi \pm \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} +2\pi n, n \in R$

$x = \pm( \operatorname{arccos} \frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} + \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}) +2\pi n, n \in R$

Показываю теперь этот алгоритм на конкретном примере.

Пример 3:

$\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$

Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно

Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:

$\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$ $\left| :\sqrt{(\sqrt3)^2 + 1^2 )}$ ⇒

$\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$ $\left| : 2$

$\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}$

А теперь заменяем $\frac{\sqrt3}{2} = \sin$ φ, a $\frac{1}{2} = \cos$ φ. Или $\frac{\sqrt3}{2} = \cos φ$ φ, a $\frac{1}{2} = \sin$ φ/ Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.

$\sin\phi \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}$

справа у нас молучился косинус разности двух углов. И поскольку косинус — функция четная, он безразличен к знакам внутри функции (почему я и выбрала этот вариант), пишу, как удобнее мне:

$\cos (3x - \phi) = \frac{\sqrt2}{2}$