Рубрики

←Арксинус, арккосинус…

 

             

         Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых в том или ином виде содержатся тригонометрические функции.

Простые уравнения

К простым можно отнести уравнения, где присутствует только одна функция — тригонометрическая.

Пример 1:

Решением уравнения tg α = а  будет   α = arctg а + πn, где   n ∈ Z.

В нашем случае аргумент \alpha = \frac{\pi (x-6)}{6}.  Значит, мы и заменяем его на это  выражение:  

    \[\frac{\pi (x-6)}{6} = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt 3} + \pi n,   \  n \in Z\]

Значение  \frac{1}{\sqrt 3} — табличное, меньше единицы, значит,  

    \[\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt 3} =  \frac{\pi }{6} ,\]

  

    \[\frac{\pi (x-6)}{6} = \frac{\pi }{6} + \pi n\]

.

Умножаем все выражение на   \frac{6}{\pi },  получаем

x — 6 = 1 + 6n,   n ∈ Z ,

х = 7 +6n,   n ∈ Z .

То есть корней у уравнения бесконечное множество. Чаще в таких заданиях просят определить, например, наименьший положительный корень или наибольший отрицательный.

Будем искать наибольший отрицательный корень. Раз отрицательный, ищем все значения n при которых  х будет меньше нуля:

х < 0

7 +6n< 0,

6n < — 7,

    \[n < -\frac{7}{6}\]

А так как   n ∈ Z , то есть n — число целое.  Первое целое число, меньшее  — \frac{7}{6},  это  n =  — 2. Подставим его.

 х = 7 +6n = 7 -12 = — 5.

Ответ: Наибольший отрицательный корень корень уравнения  х = — 5.

 

Пример 2:    3 \cos( 1 - \frac{x}{2}) - 2 = 0

    \[\cos( 1 - \frac{x}{2}) = \frac{2}{3}\]

    \[1 - \frac{x}{2} =\pm \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 2\pi n,    n\in Z\]

    \[\frac{x}{2} =\mp \operatorname{arccos}\frac{2}{3} + 1 - 2\pi n,    n\in Z\]

Умножаем на 2  все выражение, и поскольку это не влияет на результат, возвращаем привычные знаки (n может быть и отрицательным и положительным) 

    \[x = 2 \pm2 \operatorname{arccos}\frac{2}{3} +  4\pi n,    n\in Z\]

 

Ответ:  x = 2 \pm2 \operatorname{arccos}\frac{2}{3} +  4\pi n,    n\in Z

 

Решение уравнения введением вспомогательного угла

При помощи вспомогательного угла можно решать уравнения топа

a соs x ± b sin x = c

        Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно. 

        Преобразуем его, разделив всё уравнение на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при синусе и косинусе: \sqrt{ a^2 + b^2}.   Получим 

    \[\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}\cos x \pm  \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}}\sin x =  \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}\]

А теперь сложим квадраты новых коэффициентов при синусе и косинусе

(\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}})^2 = \frac{a^2}{ a^2 + b^2} + \frac{b^2}{ a^2 + b^2} =  \frac{a^2 +b^2}{ a^2 + b^2} = 1

Вспомним основное тригонометрическое тождество

sin2x  +  cos2x  =  1

Но можно и наоборот: если  a2 + b2 = 1, то можно их заменить на синусы и косинусы. То есть  a = sin x,  b = cos x,  или наоборот a = cos x,  b = sin x.

Получается, что мы можем заменить 

    \[\frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} = \cos \phi\]

    \[\frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} = \sin \phi\]

  Получаем:

\cos \phi\cos x \pm \sin \phi \sin x  =  \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}},   где

            \phi = \operatorname{arcsin} \frac{b}{\sqrt{ a^2 + b^2}} 

или     \phi = \operatorname{arccos} \frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}}

        В левой части уравнения у нас косинус разности или суммы двух углов, косинус — функция четная, пишем в любом порядке

    \[\cos (x \mp \phi) = \frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} \]

    \[{x \mp \phi} =  \pm \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} +2\pi n,   n \in R\]

    \[x  =  \pm \phi \pm \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}} +2\pi n,   n \in R\]

    \[x  =  \pm( \operatorname{arccos} \frac{a}{\sqrt{ a^2 + b^2}} + \operatorname{arccos}\frac{c}{\sqrt{ a^2 + b^2}}) +2\pi n,   n \in R\]

 

       

        Показываю теперь этот алгоритм на конкретном примере.

Пример 3:

    \[\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2\]

        Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно

        Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:

\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2  \left|  :\sqrt{(\sqrt3)^2 + 1^2 )}    ⇒   

\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2  \left|  : 2

    \[\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]

А теперь заменяем  \frac{\sqrt3}{2} = \sin φ,  \frac{1}{2} = \cos φ.   Или   \frac{\sqrt3}{2} = \cos φ φ,  \frac{1}{2} = \sin φ/  Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.

    \[\sin\phi  \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]

справа у нас молучился косинус разности двух углов. И поскольку косинус — функция четная, он безразличен к знакам внутри функции (почему я и выбрала этот вариант), пишу, как удобнее мне:

    \[\cos (3x - \phi) = \frac{\sqrt2}{2}\]

Но так как угол φ = \frac{\pi}{3} , то получим

    \[\cos (3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt2}{2}\]

    \[3x - \frac{\pi}{3}  =  \pm \operatorname{arccos}\frac{\sqrt2}{2} + 2\pi n ,   n\in Z\]

    \[3x - \frac{\pi}{3}  =  \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n ,   n\in Z\]

    \[x_{1,2} = \frac{\pi}{9}   \pm  \frac{\pi}{12} + \frac{2}{3}\pi n ,   n\in Z\]

Ответ: x_{1,2} = \frac{\pi}{9}   \pm  \frac{\pi}{12} + \frac{2}{3}\pi n ,   n\in Z

 

Продолжение следует…

Предлагайте свои варианты, разберем!