←Арксинус, арккосинус…
Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых в том или ином виде содержатся тригонометрические функции.
Простые уравнения
К простым можно отнести уравнения, где присутствует только одна функция — тригонометрическая.
Пример 1:
Решением уравнения tg α = а будет α = arctg а + πn, где n ∈ Z.
В нашем случае аргумент . Значит, мы и заменяем его на это выражение:
Значение — табличное, меньше единицы, значит,
Умножаем все выражение на , получаем
x — 6 = 1 + 6n, n ∈ Z ,
х = 7 +6n, n ∈ Z .
То есть корней у уравнения бесконечное множество. Чаще в таких заданиях просят определить, например, наименьший положительный корень или наибольший отрицательный.
Будем искать наибольший отрицательный корень. Раз отрицательный, ищем все значения n при которых х будет меньше нуля:
х < 0
7 +6n< 0,
6n < — 7,
А так как n ∈ Z , то есть n — число целое. Первое целое число, меньшее — , это n = — 2. Подставим его.
х = 7 +6n = 7 -12 = — 5.
Ответ: Наибольший отрицательный корень корень уравнения х = — 5.
Пример 2:
Ответ:
Решение уравнения введением вспомогательного угла
При помощи вспомогательного угла можно решать уравнения топа
a соs x ± b sin x = c
Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно.
Преобразуем его, разделив всё уравнение на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при синусе и косинусе: . Получим
А теперь сложим квадраты новых коэффициентов при синусе и косинусе
Вспомним основное тригонометрическое тождество
sin2x + cos2x = 1
Но можно и наоборот: если a2 + b2 = 1, то можно их заменить на синусы и косинусы. То есть a = sin x, b = cos x, или наоборот a = cos x, b = sin x.
Получается, что мы можем заменить
, где
или
В левой части уравнения у нас косинус разности или суммы двух углов, косинус — функция четная, пишем в любом порядке
Показываю теперь этот алгоритм на конкретном примере.
Пример 3:
Это уравнение можно решить заменой синуса на косинус или косинуса на синус, но получится квадратный корень и все связанные с ним неприятности. Поэтому будем решать его, приведя к формуле со сложением или вычитанием углов. Это несложно
Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:
⇒
А теперь заменяем φ, a
φ. Или
φ, a
φ/ Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.

Ответ:
Продолжение следует…
Предлагайте свои варианты, разберем!