Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Корни тригонометрических уравнений.

←Тригонометрический круг

Тригонометрические уравнения→

• Арксинус числа. Корни уравнения  sin x = a

• Арккосинус числа.  Корни уравнения cos x = b

• Арктангенс числа. Корни уравнения  tg x = d

• Итоговая таблица

 

        Решим уравнение  sin x = a. Здесь a — число. Решаем его графически, то есть решаем систему уравнений

   

Для этого рисуем графики   у = sin x    и    у = a

Как видно из графика, решений у этого уравнения — бесконечное множество. Функция  у = sin x   — периодическая, в одном периоде — два решения, а потом они оба повторяются через 2π, то есть необходимо просто прибавить или отнять от предыдущего значения корня ±2π.

        Строим те же графики на тригонометрическом круге. В этом случае мы график функции у = sin x заменяем на круг, а правая часть уравнения становится прямой, параллельной Ох. Смотрим     на круге: Точки пересечения круга с прямой дают нам два решения: α₁ и α₂ . Причем, (смотрите на круге): α₂ = π — α₁ !  И тогда решениями уравнения будут точки

   

        Еще из курса геометрии мы знаем некоторые значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для конкретных углов, а именно: для углов в  0°,  30°,  45°,  60°,  90°. А что же делать с остальными? И тут нам поможет арк(функция). Арк(функция) является обратной функцией для тригонометрических функций.

        Рассмотрим конкретную функцию знакомого угла: sin 30° = 0,5. Тогда arcsin 0,5 = 30°. Собственно, эта формула  и читается, как пишется. Угол (arc — это угол), синус которого равен 0,5, равен 30°. Все верно! То есть, если мы не знаем значения угла для какого-то синуса, мы его, этот угол, можем записать через арксинус.

Решим простое уравнение для 

x ∈ [0; 2π].

sin x = 0,35

Первый угол определить через геометрию мы не сможем, ну, и не надо! Решениями этого уравнения будут значения:

   

Теперь рассмотрим уравнение для 

x ∈ [0; 2π]

с отрицательным значением:

sin x = — 0,35

Опить два корня, и первый по модулю (величине) будет таким же, как и в первом примере, но со знаком «минус». запишем результат:  

   

Получается, что нам нет нужды рассматривать весь круг, все возможные значения для арксинуса укладываются в интервал [-π/2; π/2 ], все остальные значения находим уже по кругу. другими словами:

-π/2  ≤  arcsin a  ≤  π/2

А модуль арксинусов вообще определяется первой четвертью круга, в четвертой просто появляется знак «минус».

Запишем теперь, как будет выглядеть полное решение  уравнения  sin x =  a

  ⇒   

Смотрите: Получется, что, если четное количество π (2πn), арксинус с плюсом, а если нечетное (π(2n+1)) — арксинус со знаком «плюс». Можно объединить запись коней!

x_1,2 = arcsin a · (-1)ⁿ + πn,   n ∈ Z

Здесь, если n — четное число, «минус» пропадает, и арксинус с «плюсом», если n — нечетное, то арксинус с «минусом».

 

        Теперь по аналогии с арксинусом и помощью картинок определим остальные значения тригонометрических функций.

cos x = b

Так как косинус определяется координатой  х, то и пересекать круг будем прямыми, проходящими через соответствующие точки на оси Ох. На этом круге решаем уравнение положительного значения арккосинуса.  И в том случае можем смело утверждать, что  =   Получается:

cos x = 0,4 

Решение уравнения: 

    ⇒   

x = ± arccos 0,4 + 2πn,  n ∈ Z

Теперь рассмотрим урвнение

cos x = — 0,6

Здесь тоже очевидно, что = . 

  Решение уравнения 

    ⇒   

x = ± arccos (-0,6) + 2πn,  n ∈ Z

Общая формула для  cos x = b будет:

x_1,2 = ± arccos b + 2πn,  n ∈ Z

Обратите внимание, что все значения арккосинуса находятся в первой и второй четвертях круга. То есть

0  ≤   arccos b  ≤  π

Ну, и  дополнительное напоминание — у тупых углов косинус отрицательный.

 

Тангес угла определяется, как 

   

. Соответственно, ось со значениями у тангенса проходит там, где знаменатель дроби cos x =1. Там-то и появляется ось, все значения на которой будут соответствовать тангенсу угла φ, а прямая, проведенная через центр круга, покажет углы, тангенс которых равен числу на оси. Угол всегда определяется от нуля до проведенной линии. Соответственно, у отрицательных значений углы будут тупые.

В отличие от синуса и косинуса, у тангенса углы повторяются не через 2π,а через π.  Итак,

tg x = 1,5

Решение данного уравнения будет следующим:

x = arctg 1,5 + πn,     n ∈ Z

Все значения для арктангенса, как видно из рисунка, укладываются в интервал

-π/2  < arctg d < π/2

 Формула для определения корней уравнения

tg x = d

будет:   x = arctg d + πn,     n ∈ Z

 

Теперь про арккотангенс числа. Конечно же он существует, и им можно пользоваться. Но зачем? Ведь любое уравнение с котангенсом легко превращается в уравнение тангенсом, поскольку .

Подведем итоги:

 

уравнение	корни уравнения
sin x =  a	x1,2 = arcsin a · (-1)n + πn,   n ∈ Z	-π/2 ≤ arcsin a ≤ π/2
cos x = b	x1,2 = ± arccos b + 2πn,  n ∈ Z	0 ≤ arccos b ≤ π
tg x = d	x = arctg d + πn,     n ∈ Z	-π/2 < arctg d < π/2