Про тригонометрию

Тригонометрический круг→

Содержание:

• Поговорим о тригонометрии
• Тригонометрические функции
• Строим тригонометрический круг

 

Поговорим о тригонометрии

Вопрос:»Что такое тригонометрия?» Сразу представляю себе ответ: «Ну…., это когда синус или косинус…» «А что такое синус и косинус?» — «Ну…, отношение катетов к гипотенузе…» «То есть — геометрия?» — «???…» Нет, конечно не геометрия! Представьте себе угол в 1000° . Представили? Нет!.. А отрицательный угол? Нет таких углов!!! На 90° заканчивается прямоугольные треугольники, которые и дали определение для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. На 180° заканчивается треугольник, на 360° — планиметрия. Что же тогда такое — тригонометрия? Разберемся… Начнем с двух основных понятий — синуса и косинуса. Что вы о них знаете кроме того, что это отношения катетов и гипотенузы? Вспомнили? сумма квадратов синуса и косинуса равны единице.

Sin²α + Cos²α = 1

       А помните, как выглядит уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой R?

x² + y² = R²

       А если радиус R = 1, то это уравнение будет выглядеть  x² + y² = 1. Согласитесь, это очень похоже на основное тригонометрическое уравнение! А что особенно любят школьники, решая уравнения с неудобными выражениями? Заменять их, делать равносильную замену на какую-нибудь букву. Сделаем тоже замену двух неизвестных x² и y² на  Sin²α и Cos²α, получим равносильное уравнение. Получается, что тригонометрия — это раздел математики, позволяющий решать некоторые уравнения гораздо проще, если их неизвестные удовлетворяют условиям:

Тогда неизвестную можно заменить на синус или косинус.

       А проще потому, что в тригонометрии появляются дополнительные формулы для расчетов. Неизвестными в тригонометрии становятся уже не отдельные буквы, а тригонометрические функции: sin x,    cos x,    tg x,    ctg x,

где  ,  а  

        Вот так! Это тригонометрия!

 

Тригонометрические функции

        Почему функции? Напомню, что же такое — функции. Функция — это отношение между двумя зависимыми друг от друга величинами, которое записывается в виде математической формулы, определяющей эту зависимость. При этом изменение одной величины ведет к изменению другой величины. Подробнее→

         В случае тригонометрических функций, величина у меняется с изменением величины х, формула — это сами синус, косинус, тангенс и котангенс.

         Графики этих функций приведены ниже:

	функция y(x) = sin x
	функция y(x) = cos x
	функция y(x) = tg x
	функция y(x) = ctg x

         Получается, что синус, косинус, тангенс и котангенс — это математические выражения, связывающие два неизвестных. А значит, мы можем их, эти неизвестные, находить. А поможет нам в этом великолепная классическая «шпаргалка» — тригонометрический круг.

         Но прежде, чем мы перейдем к тригонометрическому кругу, определимся со значениями аргумента тригонометрической функции х, который может меняться от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

x ∈ ( — ∞; + ∞).

В этом случае целесообразно отвлечься от градусной меры углов и вспомнить, что углы измеряются также радианами – просто числами, определяемыми через всем известное число π, соответствующее 180°-ному углу, и π = 3,141582….. И тогда x — это уже не углы, а числа .

 

Строим тригонометрический круг

Чертим на плоскости декартову систему координат, а в ней графически изображаем уравнение :

х² + у² = 1,

то есть, чертим круг радиусом, равным 1.

       Рассмотрим точку М(х_о, у_о), принадлежащую первой четверти окружности, и треугольник, где х_о, у_о координаты точки, а 0М – радиус окружности, равный 1.  Получается, что отношение у_о  к радиусу есть ничто иное, как синус угла α, а отношение х_о к радиусу – косинус угла α. А это значит, что координаты любой точки на окружности радиусом, равным 1 – это синус и косинус угла, образованного осью 0х и радиус-вектором точки М, то есть отрезком ОМ.

       Тогда наш круг можно представить следующим  образом:→

Выходит, что по оси Оу получаем значения синусов аргумента, назовем ее «ось синусов», а по оси Ох — значения косинусов, получаем как бы «ось косинусов». При этом, разумеется, значения синусов и косинусов не выходят за пределы круга. Просто, потому что не могут в силу своей ограниченности! Ну, а мы с вами имеем возможность определятся с синусами и косинусами уже не углов, а аргумента х ∈ ( — ∞; + ∞). Почему? А потому что тригонометрические функции — периодические, т.е. просто «вертятся» по кругу. При этом значения синусов и косинусов определяются значениями координат точек на окружности со всеми их знаками. Например, согласно рисунку, координата у точки на окружности, соответствующей углу , определяет  , а координата х определяет  .

       С синусами и косинусами разобрались. А как же тангенсы и котангенсы?       С ними тоже не возникнет проблем. Тангенс определяется:

Вот и проводим «ось тангенсов» там, где cos α равен 1. Аналогично поступаем и с «осью котангенсов» В отличие от синусов и косинусов тангенсам и котангенсам прямую проводим через начало координат. То есть на круге два угла для тангенса и два угла для котангенса. Оно и понятно: период  функций тангенса и котангенса составляет π, а не 2π, как у функций синуса и косинуса.