Содержание:
Что такое — функция
Рисуем графики функций
Графики сложных функций
Строим графики с модулем
Функция — это связь между двумя математическими величинами, которое записывается в виде математической формулы, определяющей эту зависимость. При этом изменение одной величины ведет к изменению другой величины. Одна из этих величин, x — независимая величина, которая называется аргументом, ведет себя «свободно», то есть принимает любые значения, которые только может ей «позволить» математическая формула, в которой она, собственно, и находиться. Другая — у (функция), напрямую зависит от того значения, которое примет аргумент х. И записываются функции соответственно:
y = f(x).
Например: y(x) = ax² + bx + c — всем известная квадратная функция. В данной формуле нет ни одного числа, они скрыты под буквами. Но запись y(x) показывает, что аргументом (неизвестной) здесь является именно х, а остальные буквы — коэффициенты. И читается: «y от х равно…»
Итак, функция представляет собой математическую запись, в которой есть две связанные переменные: у — функция и х — аргумент. Одного единственного значения у нее нет, но есть множество зависимых значений, где одному значению х(аргумента ) соответствует одно значение у(функции). И это важно: одному — одно! при этом у(функция) может повторяться, а аргумент — нет! Например, функция у = х² одинакова для х = 3 и х = –3.
Самое интересное то, что на функцию мы можем «посмотреть»! И этой «картинкой» является не что иное, как график функции!
Рисуем графики функций.
Это линейная функция. Название весьма красноречиво — это всегда прямая линия.Чертить это график очень просто: одну точку мы знаем заранее — это точка пересечения графика с осью Оу, точка b(на оси Оу координата х = 0). В нашем случае на зеленом графике это точка 4 на Оу, а на красном — точка -2. Ну, а k — это так называемый угловой коэффициент, определяет наклон прямой. А проще говоря, тангенс угла наклона прямой по отношению к оси Ох. Для наглядности нарисовала треугольники на прямой, которые и определяют этот тангенс.
На красной линии угол, конечно, не совсем тот, угол должен быть тупым, ведь считаем его относительно Ох. Но тангенс нарисованного угла по величине такой же, только со знаком «минус», а определять его проще на прямоугольном треугольнике.
Подводим итоги: чертим график y = kx + b, проводя его через точку b на Оу, а угол наклона определяем по k. Например: у = 8х — 1 пересекает ось Оу в точке -1, а уголовой коэффициент наклона составляет 8 клеток на 1 клетку, то есть k = 8
График функции у = kx²
На рисунке показаны графики функций
y = 1/2 x² ;
y = x² ;
y = — 3x²
Как видно из рисунка коэффициент k «сужает» или «расширяет» параболу, а знак «минус» — переворачивает ее относительно оси 0х.
График функции y = kx3
На рисунках
графики:
y = x3
y = –0.2 x3
Здесь тоже коэффициент k «сужает» или «расширяет» график, а знак «минус» — переворачивает его относительно оси 0х.
График функции y = k
у =
y = 3
y = — 
График функции y = 
На рисунке:
y = 1/x
y = – 3/x
Графики сложных функций
Рассмотрим, как будет выглядеть график функции y = (x — 2)² + 3. Это будет известный всем график y = x², но только вершина его будет перемещена в точку с координатами ( 2, 3). Почему? А вот смотрите: Преобразуем немножечко запись, перенесем тройку влево. Получаем
y — 3 = (x — 2)²
(y — 3) = (x — 2)²
То есть получается, что мы, как бы «сдвигаем» все значения у на 3 и х на 2, то есть передвигаем координатные оси.
И этот принцип действует для всех видов функций, если мы сможем их представить в виде функции «в скобках» от аргумента «в скобках». То есть, получается, если мы сможем представить любую функцию в виде стандартной, но как бы «сдвинутой».
С квадратичной это просто, ведь у нее есть вершина. А как с другими? Там мы «сдвигаем» не функцию, а оси простой функции так чтобы пересечение осей оказалось в точке с координатами этого самого «сдвига».
Например, функция y = — 2/(x + 3) — 1. Сначала на вспомогательных осях чертим функцию y = — 2/x. На картинке вспомогательные оси красные. Тогда начало (пересечение) этих вспомогательных координат становится точкой с координатами ( -3 , -1 ), и координатные оси самой функции «сдвигаются» согласно координатам этой точки.→
Как же преобразовать функцию, чтобы потом спокойно ее начертить?
Рассмотрим функцию y = – 2x² + 8x + 1. Будем ее приводить к нужному нам виду:
y = – 2x² + 8x + 1 = –2(x² – 4x + 4 – 4) + 1 = – 2(x² – 4x + 4) +8 + 1 = – 2(x – 2)² + 9.
← Получается функция у = – 2(x – 2)² + 9, вершиной которой будет точка ( 2 ; 9 ), в которой находится «перевернутая» парабола вида y = – 2x².
Строим графики функций с модулем
Для начала вспомним, что же это такое — модуль числа или функции. (смотреть здесь).
Из этой статьи должен быть понятен сам принцип построения графика, аргументом которого является не просто х, а IхI. В этом случае строим такой же график без модуля на правой половине системы координат, а потом «зеркально» отображаем его на левую половину. Например, немного преобразим предыдущий график из этой статьи, введя в него модуль: y = – 2x² +8IxI + 1. Получаем график, изображенный справа. →
А теперь еще раз преобразуем данный график, добавив в него еще один модуль:
y = I– 2x² +8IxI + 1I
← Получим новый график, изображенный слева. Что означает модуль внутри? То, что аргумент у нас всегда положительный, и график становится симметричным относительно оси Оу.
А модуль снаружи? То, что функция у не может быть отрицательной! А следовательно, ее отрицательные значения меняют знак, а функция из отрицательной части Оу «переворачивается» в положительную.
Построим график функции
Для этого сначала построим график ![\[\boldsymbol{ y = \frac{5}{x-3} + 4}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13afd8d9f0d4714f9bdb45415441ea16_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Затем отрицательный «кусок» графика, где у < 0, отображаем на положительную часть. И правда! Ведь y = |f(x)| не может быть отрицательным по определению! А значит, все отрицательные значения просто меняют знак на плюс и оказываются в верхней части координатной плоскости.
Получаем такой замечательный график! ←