Решаем неравенства профильного ЕГЭ по математике

• Простые неравенства

• Cложные неравенства

• Иррациональные неравенства

• Неравенства с модулем

 

     Простые неравенства

        С простыми неравенствами проблем, как правило, не бывает: решаем уравнение относительно нуля, расставляем точки, соответствующие корням, рисуем интервалы, определяем знаки.

        Например: (х — 1)² (х + 3)⁶ (х — 5)⁹  ≥ 0 .   Корнями этого выражения будут точки:  х₁ = 1;  х₂ = -3;  х₃ = 5.  Но точки  х₁   и  х₂   на знак не влияют,так как первые два множителя заведомо положительные, они возводятся в четную степень. Или, другими словами, в первой скобке два одинаковых корня, во второй — четыре. Определяем, какой знак будет иметь выражение, скажем, в точке 10. Положительное. Рисуем числовую ось и расставляем знаки. Ответ:  х ∈ { -3 } ∪ { 1} ∪ [ 5; +∞ )

        Почему -3 и 1 появились? Потому что они не меняют знак, но являются частью уравнения, так как у  нас стоит знак «больше и равно». Если бы было строгое неравенство, то подобные точки, соответствующие четным корням, необходимо было бы выколоть.

        Рассмотрим еще одно неравенство:

Ищем нули функции. Это корни числителя: х_1,2= ±4,  х₃ = 3, три корня  х₄  = -1; корни знаменателя:  х₅ ≠ -4,  х₆ ≠  2. Считаем, какой знак получится у выражения, когда, скажем, х=0. В нуле функция отрицательна. Строим интервалы. Учитываем, что корней х = -4 два, а значит, в этой точке знак не меняется:

Пишем ответ:  x ∈  [ -1; 2 ) ∪ [ 3; 4 ]

Сложные неравенства

   Решаем сложное неравенство, в котором присутствуют две различные функции в числителе и знаменателе:

Решить это неравенство — значит  определить промежутки, где функция положительная.  Чтобы расставить все точки над «i», посмотрим, как выглядит  график функции. Положительные значения функции находятся выше оси 0х, то есть выше точек пересечения графика с осью. А эти точки — не что иное, как корни уравнения, проще говоря. нас интересуют нули функции. Нули знаменателя, конечно, не совсем корни, делить на ноль нельзя, но в этих точках функция все равно меняет знак. Нас-то интересует знак!!! А корни знаменателя, меняющие знак, «выкалываются». На графике видно, что в точках, где х = 2  и  х = -2, функция стремится к бесконечности, но при этом меняет зак с «плюса» на «минус» и с «минуса» на «плюс».

Для наглядности посмотрите, как ведут себя графики числителя (зеленый пунктир), точки «нулей » знаменателя (синие точки) и график нашей функции. Все корни совпали, а точки (-2; 0) и (2;0) изменили знак функции.

        Отсюда вывод:

•         Для того, чтобы решить любое неравенство, достаточно определиться с так называемыми нулями функции, не забывая «выколоть» нули знаменателя, определить знак любого промежутка из получившихся и чередовать  знаки.
•         Если появились одинаковые корни, количество которых кратно двум, то в них знак не меняется.

 

Иррациональные неравенства

      

      •  Решим неравенство :    ≥ 0 . Неравенство несложное, но есть некоторые тонкости, которые следует учитывать, решая выражения  с корнем:

1. Квадратный корень всегда число неотрицательное по определению,  на знак нашего выражения не влияет.
2. Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа.
3. Решать такие выражения очень часто приходится возведением обеих частей неравенства в квадрат, а это — не всегда равносильные выражения.

        При решении уравнений все вышесказанное приводит к обязательной проверке корней, что невозможно сделать в неравенстве. Поэтому такие неравенства превращаются в систему неравенств.

        Так как в конкретном нашем выражении корень не влияет на знак, мы на него делим. Напомню, что неравенства можно делить или умножать на выражения или числа только, если известен знак этого выражения или числа, так как в противном случае такое деление может изменить знак всего неравенства.

       Решаем систему:     Первое неравенство имеет решение при    х ≤ -3   и  х ≥ 3. Второе — при   х ≥ 2. Выводим общие для обоих неравенств интервалы.

        Ответ:   х ∈  [ 3; +∞ )

       

        •  Рассмотрим еще одно неравенство:    .

Функция ограниченная из-за двух корней, поэтому сначала найдем область определения функции (ООП):

     Решение этого неравенства: х  ∈  [ -1;  8 ].

         Теперь решаем само неравенство. Можно решить стандартно, возводя в квадрат обе части, при этом желательно перенести второй корень в правую часть, а единицу влево, и возвести в квадрат: . Обращаю ваше внимание, что придется возводить в квадрат два раза, так как слева после возведения останется корень от удвоенного произведения первого слагаемого на второе.

        Но можно несколько облегчить себе задачу, введя новую переменную .   Тогда   х+1 = t² ,   х =  t² — 1,   а

 

а все выражение превратится в выражение с одним корнем:

  — t < -1         ⇒        < t — 1

Возводим в квадрат,…….и т.д. Дальше решать не буду, Думаю, все понятно. Корни будут иррациональными, и это — нормально.

    

Неравенства с модулем

       Отдельная история — неравенства с модулем. Вспомним,что такое модуль числа

Очевидно, что решать уравнения или неравенства с модулем можно только, раскрыв модуль. Модуль раскрывается по правилу в зависимости от знака выражения, стоящего под модулем. Давайте разбираться на конкретных примерах:

   а).    

Если построить числовую ось, то все значения, удовлетворяющие этому неравенству, окажутся внутри интервала х ∈ ( -3; 3) Неравенство у нас строгое, значит скобки будут круглые.

       в).            ⇒   

Ответ:   х ∈ ( — ∞; -3) ∪ ( 3; +∞ ), то есть больше большего корня и меньше меньшего корня.

       

        Если же у нас под знаком модуля будут какие-нибудь функции, модуль будет раскрываться аналогично вышеизложенному, только уже не получится сразу интервалов, а будет системы или объединенные множества неравенств.

        1. Решаем следующее неравенство:

I 2x — 7 I ≤  5

Открываем модуль:

 -5 ≤  2x -7  ≤  5

Внутри модуля функция линейная, которую можно решить двойным неравенством. Сначала прибавим ко всем трем частям 7, получим :

 2 ≤  2x  ≤  12,

затем разделим все неравенство на 2 :

 1 ≤  x  ≤  6

Ответ:  х ∈ [ 1; 6 ].

 

        2. Еще одно неравенство:

Сначала найдем область определения функции, т.к. наша функция — ограниченная. ООП:  х > -2. 

Убираем модуль. Наше неравенство превращается в объединенное множество:Учитывая ООП, получаем ответ: х ∈  ( -2;  -17/9 ) ∪ ( 7; +∞)

 

        3. Ну, и наконец, неравенство с двумя модулями: В этом неравенстве две точки смены знака под модулем, это точки 3 и  5, следовательно, модули будем открывать на трех промежутках:

 

Ответ: х∈  ( — ∞;  2 ] ∪ [4; +∞)

Это неравенство можно представить графически. Для этого достаточно построить графики функции (зеленой) с модулями 

   y = Ix — 3I + Ix — 5I   (в неравенстве слева) и (красной) линейной функции  

 y =6 — x,   находящейся на правой стороне неравенства. По условию неравенства нас интересует та часть графиков, где зеленая функция находится выше красной. Как видите, ответ тот же самый!

            NB:  Кстати, решение уравнений и неравенств при помощи графиков часто очень помогает разобраться с задачами с параметрами — с задачами №18 профильного ЕГЭ. Но это уже тема для другой статьи.