Задача:
Найдите все значения а, при которых уравнение
![\[\boldsymbol{\left|{x^2 - 4x + 3}\right| = a(x - 1)}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7c52fbaefe3f0357e702ce29b979148_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
имеет два различных корня. укажите эти корни.
Для начала мы должны посмотреть на это уравнение. Для этого чертим графики левой части уравнения у = 
и правой части уравнения у = а(х — 1). Именно точки пересечения этих графиков и определят корни уравнения.
График правой части — линейная функция, проходящая через точку 1 на оси 0х, угловой коэффициент которой k = a, которую мы и ищем. Получается, что эта прямая как бы вращается вокруг точки А(1: 0), меняя угол наклона к оси 0х при изменении а.
На графике представлены четыре из всего множества прямых: фиолетовая, красная, синяя и бирюзовая, а также пунктирная..
Второй график, график с модулем, преобразуем, сначала без модуля.
у = х2 — 4х + 3 = ( х2 — 2·2·х + 22) — 22 +3 = (х — 2)2 — 1.
Отсюда получается, что это — парабола у = х2, вершина которой смещена в точку (2: -1). Модуль «переворачивает» отрицательную часть графика в положительную половину. График, который получился, начерчен зеленым цветом. Читать далее
Классическое определение
![\[\mathbf{y ^\prime (x) = \lim_{\Delta x \to \ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0def88965fc9305da5fcd3f940eb369_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Производная есть предел отношения приращения функции при бесконечно малом приращении 
аргумента.
А теперь посмотрим на линейную функцию y = kx + b. Напоминаю, линейная функция на графике x0y — это прямая, а k — угловой коэффициент, определяемый тангенсом угла наклона графика к оси 0х. В нашем случае прямые — это три секущие и касательная. А для них отношение 
= k.
Получается, что при уменьшении Δх→0 секущая становится касательной. Следовательно
- Производная функции в точке — это угловой коэффициент касательной к данной точке функции.
Задача из варианта №304 Ларина:
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины
ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°
Решать будем при помощи координат. Для этого присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.
Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.
Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М
. Углы треугольника по 60º.
![\[CM = AC\cdot \sin{60^0}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2816b4c554407ed84b869db622501182_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[CM = 6\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-672272ec8f174ef87259903ef2cf24a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[MH = \sqrt3.\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2eacc017377cd04d24d682632ba5a73e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решим задачу:
Основанием призмы АВСА1В1С1 является правильный треугольник АВС со стороной 6. Боковое ребро АА1 призмы равно 6 и образует со сторонами АВ и АС углы по 600.
Определите расстояние от точки B1 до плоскости А1СВ;
Будем решать, применяя координатный метод. Присоединим к нашей призме систему координат, определим координаты узловых точек и найдем, все что нужно по координатам прямых и плоскостей.
Чтобы сделать рисунок более понятным, я закрасила грани и основания разным цветом. Предлагаю посмотреть на призму в проекциях на координатные плоскости, как бы со всех сторон. Соответственно на рисунке 1 смотрим на плоскость х0у, на рисунке 2 — z0y, а на рисунках 3 и 4 — плоскость z0x слева и справа от призмы.
Переходим к расчету координат узловых точек. Вспомним, что наша призма состоит их двух треугольников (основания призмы), двух ромбов (боковые грани) и квадрата (третья боковая грань). Чтобы определиться, насколько отстоит верхнее основание от нижнего, нам необходимо выяснить положение точки А1. Читать далее
Решим уравнение:
![\[\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8554e1c0482fe7e139a5e0c63f055b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:
⇒ 
![\[\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e6d3b39f465b78da8c93029aae4521d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
А теперь заменяем 
φ, a 
φ. Или 
φ, a 
φ. Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.
![\[\sin\phi \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bd14035f58878587d923cfcfe4a4127_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Следует напомнить, что тригонометрический круг позволяет определиться с любыми значениями синусов, косинусов, тангенсов (подробнее здесь). Котангенсы тоже можно определять, только зачем нам загружать еще одну ось на нашу шпаргалку, когда любое уравнение с котангенсом можно превратить в уравнение с тангенсом, поскольку
![\[ctgx = \frac{1}{ \operatorname {tgx}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62540df5e94186cd4f42322e2f7b4032_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
На приведенном справа рисунке тригонометрического круга прорисованы все углы, значения которых мы знаем еще из геометрии, а именно: π/6, π/4 и π/3, и те, которые можно определить через эти углы. Как определяются эти углы, можно увидеть ниже:
Читать далее
Какое-то наваждение! Оказалось, проблемы у будущих выпускников школы появляются там, где не ждали! В решении неравенств! А ведь это одно из самых предсказуемых заданий сложной части профильного ЕГЭ. Что ж, разберемся.
С простыми неравенствами проблем, как правило, не бывает: решаем уравнение относительно нуля, расставляем точки, соответствующие корням, рисуем интервалы, определяем знаки… Все правильно, вопросов вроде, как нет.
Но вот, например, такое неравенство
Почему-то здесь вдруг эти вопросы появляются. Читать далее
Начну с известной всем формулировки:
Модуль числа a равен числу a, если a ≥ 0, и равен –a, если a < 0.
Про это помнят все, а вот что за минус, почему он появился, толком не понимают многие.
Сразу же главное: выражения с модулем не решаются как-нибудь отдельным способом, его раскрывают, но раскрывают в зависимости от того, какое выражение записано под модулем: положительное или отрицательное.
Модуль или абсолютная величина числа это его численное значение без учета каких-либо знаков. Просто число. У векторов, кстати, модуль вектора тоже просто число, которое определяет длину вектора независимо от его положения в пространстве. Отсюда модуль числа — это всегда неотрицательное число. То есть
ΙaΙ ≥ 0
Так откуда минус? Читать далее
При решении задач по геометрии и стереометрии очень важно сделать хороший. чертеж. Хороший чертеж — половина успеха! Часто получается, что с самой фигурой справились, а вот что делать с сечением? Проблема! Предлагаю вам подробный разбор построения сечения. В этом сечении как раз присутствуют наиболее сложные задачи для построения: нужно построить плоскость, проходящую через точку, и параллельную двум скрещивающимся прямым. Читать далее
Вопрос:»Что такое тригонометрия?»
Сразу представляю себе ответ: «Ну…., это когда синус или косинус…»
«А что такое синус и косинус?» — «Ну…, отношение катетов к гипотенузе…»
«То есть — геометрия?» — «???…»
Нет, конечно не геометрия! Представьте себе угол в 1000° . Представили? Нет!.. Нет таких углов!!! На 90° заканчивается прямоугольные треугольники, которые и дали определение для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. На 180° заканчивается треугольник, на 360° — планиметрия.
Что же тогда такое — тригонометрия? Разберемся… Читать далее