Решаем текстовые задачи на движение профильного ЕГЭ по математике. Вспоминаем физику.

Сегодня будем решать текстовые задачи из профильного ЕГЭ по математике. А именно — задачи на движение. Убиваем сразу двух зайцев: решаем текстовые задачи и вспоминаем кинематику, а именно относительную систему координат.

Задача 1: 

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй – длиной 90 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 1000 метров. Через 16 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 400 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

---

Решение:

Итак, мы имеем два движущихся с разной скоростью теплохода, и нам эту разницу скоростей нужно определить. Она и будет нашей неизвестной

x = v₁ — v₂

На картинке оба теплохода движутся по неподвижной воде. Системой отсчета, она же — система координат, является море. 

А теперь мы «прикрепим» систему координат на второй (синий корабль). То есть воспользуемся тем, что систему отсчета мы всегда можем выбирать сами. Посмотрите, как решается подобная задача по физике в кинематике.

Упростим рисунок. Раз второе судно неподвижно, куда делась его скорость? Вместо судна со скоростью v₁ относительно «неподвижного» судна проплывет вода в противоположном направлении. Тогда второе судно будет двигаться относительно первого со скоростью, равной разности скоростей, то есть со скоростью

x = v₁ — v₂ 

И вот наша новая схема: Мимо неподвижного судна проплывает судно со скоростью х. 

Из условия задачи определяем путь, который проплывает, скажем, корма за 16 минут

l = 110 + 1000 + 90 + 400 = 1600

Скорость — путь, пройденный в единицу времени:

x =

x = (м/минуту)

Но ответ надо дать в километрах-в-час. Переводим:

x = км/час

Ответ: 6

 

Задача 2: (задача из варианта Ларина № 372 ): 

На круговой дорожке стадиона длиной 400 м тренируются два спортсмена, совершая забег из одной точки дорожки. Найдите скорость в м/сек движения каждого из них, если известно, что при движении в одну сторону они встречаются каждые 20/3 минуты, а при движении в противоположные стороны они встречаются каждые 4/3 минуты. В ответе укажите произведение полученных значений.

---

Решение:

Примем скорость v₁  =  х,  v₂ = y. 

Теперь также «обездвиживаем», скажем, первого спортсмена. То есть систему отсчета «прикрепляем» на первого бегуна. В этой системе отсчета он не движется, а движется земля в противоположную сторону со скоростью х.

Получается, что второй спортсмен движется относительно первого в одну сторону со скоростью (х + у), а в другую — со скоростью (х — у). А как известно, скорость определяется

v =

Отсюда имеем систему:

   

 

   

Сложим и вычтем уравнения в системе. Получим:

   

Или

   

Но мы не переводили минуты в секунды, считали систему в м/мин. В минуте 60 секунд, делим результат на 60, получаем:

   

Перемножаем скорости и получаем: 

Ответ: 6