Задача с параметром и производная

Задача:

Найдите все значения а, при которых уравнение

Для начала мы должны посмотреть на это уравнение. Для этого чертим графики левой части уравнения у = и  правой части уравнения  у = а(х — 1). Именно точки пересечения этих графиков и определят корни уравнения.

График правой части — линейная функция, проходящая через точку 1 на оси 0х, угловой коэффициент которой k = a, которую  мы и ищем.  Получается, что эта прямая как бы вращается вокруг точки А(1: 0), меняя угол наклона к оси 0х при изменении а. На графике представлены четыре из всего множества прямых: фиолетовая, красная, синяя и бирюзовая, а также пунктирная..

Второй график,  график с модулем, преобразуем, сначала без модуля.

у = х² — 4х + 3 = ( х² — 2·2·х + 2²)  — 2²  +3 = (х — 2)² — 1.

Отсюда получается, что это — парабола у = х², вершина которой смещена в точку (2: -1).  Модуль «переворачивает» отрицательную часть графика в положительную половину. График, который получился, начерчен зеленым цветом.  

Одна общая точка у них есть всегда — это точка  А(1; 0). Значит, нам нужен вариант, когда прямая пересекает параболу еще только в одной точке. Смотрим на график.

После прямой у = 0 (ось 0х) поворачиваем нашу линейную функцию против часовой стрелки. До того, пока график у = а(х — 1)  не станет касательной к у = , он пересекает его еще в двух точках (C и D). И только между двумя касательными (красная и фиолетовая прямая) он пересечет параболу только в еще одной точке. Правда, здесь есть одно важное исключение — перпендикуляр к точке А, прямая х = 1. Здесь прямая пересекает параболу только в одной точке.

Итак, мы определились: Нас устраивает у = 0 и все прямые из сегмента, включая касательные, за исключением прямой х = 1.

Определяемся с касательными. Вспомните, производная функции в точке определяется угловым коэффициентом касательной к функции в этой точке (смотреть здесь). Красная касательная —  это касательная к графику у = — ((х — 2)² — 1) = — (х — 2)² + 1 (перевернутая парабола), фиолетовая касательная — к графику у = (х — 2)² — 1.

Угловой коэффициент красной касательной k₁ (x) = (- (х — 2)² + 1 )′ = — 2(х — 2) = -2х +4. Для точки А(1:0) 

k₁ = — 2 + 4 = 2

Угловой коэффициент фиолетовой касательной k₂ (x) = ( (х — 2)² — 1 )′ =  2(х — 2) = 2х — 4. Для точки А(1:0)

k₂ =  2 — 4 = — 2 

Итак, учитывая, что  a = k, что у прямой х = 1 тангенс угла равен бесконечности, два пересечения графиков, а следовательно, два корня уравнения  будут при а ∈ ( — ∞;  -2] ∪  { 0 }∪  ( 1; 2 ] ∪  [ 2; + ∞)/

Теперь определяем корни. Первый мы уже давно определили, это х₁ = 1. Второй зависит от значения коэффициента а. Причем, смотрите на график, вторая точка пересечения есть только на части графика,определяемого формулой у = (х — 2)² — 1. В этом случае уравнение будет выглядеть следующим образом

a(x — 1) = (х — 2)² — 1

а(х — 1) = х² — 4х + 3

По теореме Виета корни квадратного трехчлена 1 и 3, тогда

а(х — 1) = (х — 1)(х — 3)

Делим на (х — 1), получаем   а = х — 3. Тогда  х₂ = а + 3.

Итак, корни уравнения:  х₁ = 1;  х₂ = а + 3

Ответ:   а∈ ( — ∞;  -2]∪ { 0 }∪ ( 1; 2 ]∪ [ 2; + ∞), х₁ = 1,  х₂ = а + 3