Классическое определение
![\[\mathbf{y ^\prime (x) = \lim_{\Delta x \to \ 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0def88965fc9305da5fcd3f940eb369_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
аргумента.
А теперь посмотрим на линейную функцию y = kx + b. Напоминаю, линейная функция на графике x0y — это прямая, а k — угловой коэффициент, определяемый тангенсом угла наклона графика к оси 0х. В нашем случае прямые — это три секущие и касательная. А для них отношение 
= k.
Получается, что при уменьшении Δх→0 секущая становится касательной. Следовательно
- Производная функции в точке — это угловой коэффициент касательной к данной точке функции.
Рассмотрим функцию y(x) = Sin 2x — 2Cos x + 0.5x. Не всю, конечно, а кусочек этой функции
. Функция периодическая, определена от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Здесь показаны касательные в некоторых точках этой функции. В точках A, B, C и D касательные становятся параллельными оси 0х, то есть, угол между ними и осью равен 0, тангенс нуля равен 0, а следовательно, k = 0, и производная в этих точках тоже равна 0. До точки А нашей части графика и на участке ВС касательная и ось 0х составляют острый угол, следовательно, и k > 0, и производная — положительная. На участке АВ и на последнем кусочке нашего графика касательная и ось 0х составляют тупой угол, следовательно, и k < 0, и производная — отрицательная.
Под графиком можно увидеть, как меняются знаки производной этой функции на заданном участке.
Ну, и наконец, можете посмотреть, как выглядят графики функции и ее производной. Спасибо GeoGebra!
Здесь сама функция f(x) = Sin 2x — 2Cos x + 0.5x начерчена зеленой, а производная от нее y′(x) = (Sin 2x — 2Cos x + 0.5x)′ = 2Cos 2x + 2Sin x +0,5 = g(x) — синяя.
f(x) = Sin 2x — 2Cos x + 0.5x
g(x) = 2Cos 2x + 2Sin x +0,5
И еще один факт: там, где производная равна нулю, функция как бы «перегибается», появляются точки максимума или минимума функции. То есть, функция, например, растет, а потом — убывает. Или наоборот.
Если производная отрицательная, функция убывает, если производная положительная, функция возрастает.