Определяем угол между скрещивающимися прямыми

Задача из варианта №304 Ларина:

---

В  правильном  тетраэдре  ABCD  с  ребром,  равным  6,    точки  M  и  N  –  середины 
ребер АВ и CD.

а) Докажите, что угол между прямыми  MN и BC равен 45°

---

Решать будем при помощи координат. Для этого  присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.

       Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом  проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.

      Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М. Углы треугольника по 60º.

   

   

Н — точка пересечения медиан, делит медиану на отрезки, которые относятся 2:1. Точка N делит сторону DC пополам, следовательно, проекция  СН тоже делится пополам. Следовательно,

   

  Координаты точек основания будут:

   

   

   

   

   

   

Определяемся с точками N и D. для этого рассмотрим сечение CDM пирамиды: ΔADC — равносторонний, следовательно медиана ,  также, как медиана  . ,   тогда 

Координаты точек    ,   .

        Переходим к решению:

Для определения угла между скрещивающимися прямыми   MN и BC воспользуемся формулой, определяемой координатами. Сначала найдем координаты векторов этих прямых. Координаты векторов определяются разностью между соответствующих  (x, y или z) координат двух точек на прямой, например, координат точек концов отрезков MN и BC у нас в задаче.

   

   

Определяем косинус угла между прямыми, назовем его α:

   

Получается, что   ,  то есть  ,  что и требовалось доказать.

 

Вся задача здесь→