Задача из варианта №304 Ларина:
В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 6, точки M и N – середины
ребер АВ и CD.
а) Докажите, что угол между прямыми MN и BC равен 45°
Решать будем при помощи координат. Для этого присоединим к пирамиде систему координат, произвольно. Я выбрала вариант, показанный на рисунке: Нулевая точка декартовой системы находится в точке М.
Определяем координаты всех точек пирамиды. Воспользуемся чертежом проекции пирамиды на плоскость хОу (вид сверху). В этом случае вершина пирамиды D совпадает на чертеже с точкой Н основания пирамиды. Точки основания пирамиды отмечены не чертеже в скобках.
Проекция пирамиды — это равносторонний треугольник со стороной, равной 6, а точка Н здесь — центр вписанной и описанной окружностей.. Определяем координаты точек относительно точки М
. Углы треугольника по 60º.
![\[CM = AC\cdot \sin{60^0}\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2816b4c554407ed84b869db622501182_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[CM = 6\cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-672272ec8f174ef87259903ef2cf24a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[MH = \sqrt3.\]](https://zagalina.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2eacc017377cd04d24d682632ba5a73e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")