Определяем расстояние от точки до плоскости

Опубликовано 21 февраля, 2020 | Автор: admin

Решим задачу:

Основанием призмы АВСА₁В₁С₁ является правильный треугольник АВС со стороной 6. Боковое ребро АА₁ призмы равно 6 и образует со сторонами АВ и АС углы по 60⁰.
Определите расстояние от точки B₁ до плоскости А₁СВ;

Будем решать, применяя координатный метод. Присоединим к нашей призме систему координат, определим координаты узловых точек и найдем, все что нужно по координатам прямых и плоскостей.

Чтобы сделать рисунок более понятным, я закрасила грани и основания разным цветом. Предлагаю посмотреть на призму в проекциях на координатные плоскости, как бы со всех сторон. Соответственно на рисунке 1 смотрим на плоскость х0у, на рисунке 2 — z0y, а на рисунках 3 и 4 — плоскость z0x слева и справа от призмы.

Переходим к расчету координат узловых точек. Вспомним, что наша призма состоит их двух треугольников (основания призмы), двух ромбов (боковые грани) и квадрата (третья боковая грань). Чтобы определиться, насколько отстоит верхнее основание от нижнего, нам необходимо выяснить положение точки А₁.

Боковая грань АА₁С₁С — ромб углом 60⁰, а следовательно, его диагональ равна стороне. А это значит, что точка А₁ равноудалена от точек А и С. Точно также можно рассмотреть грань АА₁В₁В.

Получается, что точка А₁ равноудалена от точек А, В и С. А это значит, что координаты х и у можно определить по чертежу. Фактически, на чертеже представлена проекция нашей призмы на плоскость хОу. Учитывая, что треугольник ΔАВС правильный, и сторона его равна 6, можно сказать, что проекция точки А₁ — центр описанной окружности, а АА₁ — ее радиус. Найду его по теореме синусов, а вы можете и по-другому, вариантов много.

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R$

$AA_1 = \frac{6}{2sin 60^0} = \frac{3\cdot2}{\sqrt3} = 2\sqrt3$

Координата z для нижнего основания призмы равна 0, а для верхнего определяем его из рисунка2, где АА₁ — гипотенуза треугольника, а высота (она же координата z) — катет. Координата $z = \sqrt{6^2 - (2\sqrt3)^2} = 2\sqrt6$

Итак, точки и их координаты: Нижнее основание

$A( 0; 0; 0 ), B( -3; 3\sqrt3; 0), C( 3; 3\sqrt3; 0 )$

В верхнем основании каждая точка сдвигается на $2\sqrt3$ вдоль оси Ох, и координата $z = 2\sqrt6$

$A_1 ( 0; 2\sqrt3; 2\sqrt6 ), B_1( -3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 ), C_1 ( 3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 )$

Переходим к следующему вопросу

б) По координатам узловых точек будем искать расстояние от вершины призмы до плоскости. Расстояние от точки В₁ $( -3; 5\sqrt3; 2\sqrt6 )$ до плоскости А₁СВ определим по формуле

$\rho = \frac{\left|{Ax_b + By_b + Cz_b +D}\right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Осталась «самая ерунда» — найти эти самые A, B, C и D. Ну что ж, ищем.

Для этого составляем и решаем систему уравнений, основываясь на точках плоскости: $A_1 ( 0; 2\sqrt3; 2\sqrt6 ),$ $B( -3; 3\sqrt3; 0),$ $C( 3; 3\sqrt3; 0 )$ .

$\begin{Bmatrix}{A\cdot 0 +B\cdot(2\sqrt3) + C\cdot(2\sqrt6) + 1 = 0}\\{A\cdot (-3) +B\cdot(3\sqrt3) + C\cdot 0 + 1 = 0}\\{A\cdot 3 +B\cdot(3\sqrt3) + C\cdot(0) + 1 = 0}$

$\begin{Bmatrix}{0 +{2\sqrt3}B + {2\sqrt6}C + 1 = 0}\\{-3 A +{3\sqrt3}B + 0 + 1 = 0}\\{ 3A +{3\sqrt3}B + 0 + 1 = 0}$

Складываем второе и третье уравнение, получаем: ${6\sqrt3}B + 2 = 0$ $B = - \frac{2}{6\sqrt3} = - \frac{\sqrt3}{9}$

Из второго уравнения: $3A = 3\sqrt3 B + 1 = 3\sqrt3 \cdot(-\frac{\sqrt3}{9}) + 1 = 0$ , $A = 0$

Из первого уравнения: $2\sqrt6 C = -2\sqrt3 B -1$

Подставляем В и находим С: $2\sqrt6 C = -2\sqrt3 (- \frac{\sqrt3}{9}) -1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

$C = -\frac{1}{3\cdot2\sqrt6 } = - \frac{\sqrt6}{36}$

Теперь ищем расстояние от точки до плоскости:

$\rho = \frac{\left|{0\cdot(-3) + (- \frac{\sqrt3}{9})\cdot{5\sqrt3} + ( - \frac{\sqrt6}{36}){2\sqrt6} +1}\right|}{\sqrt{0^2 + (- \frac{\sqrt3}{9})^2 + ( - \frac{\sqrt6}{36})^2}}$

$\rho = 2\sqrt6$

Ответ: $2\sqrt6$

Подробнее смотрите здесь→

Рубрика: ЕГЭ, Математика | Метки: егэ, математика профиль, метод коодинат, расстояние

Определяем расстояние от точки до плоскости

Решаем текстовые задачи на движение профильного ЕГЭ по математике. Вспоминаем физику.

Задача с параметром и производная

Производная. Что нужно о ней понимать?

Решаем задачи ЕГЭ по МКТ и термодинамике

ЕГЭ физика. Решаем задачи с изопроцессами в графиках

Изопроцессы и их графики

Определяем угол между скрещивающимися прямыми

Решаем тригонометрическое уравнение с помощью вспомогательного угла

Определяем значения с помощью тригонометрического круга

ЕГЭ физика. Решаем задачи на влажность