Решаем тригонометрическое уравнение с помощью вспомогательного угла

Опубликовано 8 февраля, 2020 | Автор: admin

Решим уравнение:

$\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$

Для начала найдем сумму квадратов коэффициентов при синусе и косинусе и разделим все уравнение на корень квадратный из этой суммы:

$\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$ $\left| :\sqrt{(\sqrt3)^2 + 1^2 )}$

⇒ $\sqrt3\sin 3x + \cos 3x = \sqrt2$ $\left| : 2$

$\frac{\sqrt3}{2} \sin 3x + \frac{1}{2} \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}$

А теперь заменяем $\frac{\sqrt3}{2} = \sin$ φ, a $\frac{1}{2} = \cos$ φ. Или $\frac{\sqrt3}{2} = \cos φ$ φ, a $\frac{1}{2} = \sin$ φ. Я возьму первый вариант, но вы выбираете, какой хотите.

$\sin\phi \sin 3x + \cos\phi \cos 3x = \frac{\sqrt2}{2}$

Справа у нас получился косинус разности двух углов. И поскольку косинус — функция четная, он безразличен к знакам внутри функции (почему я и выбрала этот вариант), пишу, как удобнее мне:

$\cos (3x - \phi) = \frac{\sqrt2}{2}$