Начну с известной всем формулировки:
Модуль числа a равен числу a, если a ≥ 0, и равен –a, если a < 0.
Про это помнят все, а вот что за минус, почему он появился, толком не понимают многие.
Сразу же главное: выражения с модулем не решаются как-нибудь отдельным способом, его раскрывают, но раскрывают в зависимости от того, какое выражение записано под модулем: положительное или отрицательное.
Модуль или абсолютная величина числа это его численное значение без учета каких-либо знаков. Просто число. У векторов, кстати, модуль вектора тоже просто число, которое определяет длину вектора независимо от его положения в пространстве. Отсюда модуль числа — это всегда неотрицательное число. То есть
ΙaΙ ≥ 0
Так откуда минус? Смотрите: Ι 2 Ι = 2, Ι–2 Ι = 2, но под модулем стоит –2? Значит пишем то же выражение с числом –2:
Ι–2 Ι = –(–2)
Получается, что минус всего лишь превращает отрицательное число в положительное. Это особо актуально для алгебраических выражений, где все знаки прячутся в буквах.
С модулем числа, я думаю, разобрались. А что же представляет собой функция y = ΙxΙ ? Будем раскрывать по правилам:
Если х ≥ 0, то есть на правой половине координатной плоскости, это будет функция у = х,
при х < 0, — на левой половине плоскости — функция у = – х.
То есть, получается, что функция зеркально отображается относительно оси 0у.
То есть, если аргумент функции (любой) ΙxΙ, то ее, функцию, нужно рисовать только на правой половине координатной плоскости, а на левой — «зеркальное отражение». Например:
←y = x² — 6 ΙxΙ + 2 
y = –2x² — 2 ΙxΙ+3 →
На правом графике сама функция синего цвета, зеленый пунктир — вспомогательная, нужная для построения графика y = –2x² — 2 x+3.
Почему так? Да потому, что все отрицательные значения аргумента х под модулем становятся положительными и у принимает те же значения, что и при положительном х.